IL TEOREMA DELL'ENERGIA CINETICA

Immaginiamo che una forza F agisca su un corpo di massa m. Supponiamo anche che prima dell'azione della forza il corpo abbia velocità iniziale $v_i$ e dopo l'azione della forza abbia velocità finale $v_f$.
Allora, il teorema dell'energia cinetica sostiene che il lavoro L compiuto dalla forza è uguale a

(1)
\begin{align} L = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2. \end{align}

L'energia cinetica di un corpo di massa m e velocità v è definita come

(2)
\begin{align} E_c = \frac{1}{2}mv^2. \end{align}

In altre parole, il teorema dell'energia cinetica afferma che

Il lavoro esercitato da una forza su un corpo è pari alla differenza tra l'energia cinetica finale e iniziale

(3)
\begin{equation} L=E_c(finale) - E_c(iniziale). \end{equation}
Dimostrazione

Per semplicità, supponiamo che la forza sia costante e che agisca nella stessa direzione dello spostamento, e che la sua azione duri un tempo $\Delta t$. In questo caso, il lavoro è uguale a $L=Fs$, in cui s è lo spostamento.
A sua volta, per il secondo principio della dinamica sappiamo che $F=ma$, in cui a è l'accelerazione. Perciò, il lavoro vale

(4)
\begin{align} L = ma \cdot s. \end{align}

L'accelerazione a è uguale alla variazione della velocità durante l'azione della forza. Perciò,

(5)
\begin{align} a = \frac{v_f - v_i}{\Delta t}. \end{align}

Dato che la velocità media è il rapporto tra lo spostamento s e la durata dello spostamento $\Delta s$, possiamo scrivere

(6)
\begin{align} v_{media} = \frac{s}{\Delta t}. \end{align}

Ricavando lo spostamento s da quest'ultima equazione, otteniamo

(7)
\begin{align} s= v_{media} \Delta t . \end{align}

La velocità media vale $v_{media}= \frac{v_f + v_i}{2}$. Dunque, lo spostamento s vale

(8)
\begin{align} s = \frac{v_f + v_i}{2} \Delta t. \end{align}

Sostituendo le espressioni di a e s nella formula del lavoro, otteniamo:

(9)
\begin{align} L=ma \cdot s=m \frac{v_f - v_i}{\Delta t} \Delta t \frac{v_f + v_i}{2}. \end{align}

Semplificando $\Delta t$, otteniamo

(10)
\begin{align} L=\frac{1}{2}m(v_f - v_i)(v_f + v_i)=\frac{1}{2}m(v_f^2- v_i^2). \end{align}

oppure, in altre parole,

(11)
\begin{equation} L=E_c(finale) - E_c(iniziale). \end{equation}

Esercizi

Es. 1 (Ruffo > D55 n.14)

Un pallone di calcio di massa 400 g si muove con velocità di 30 m/s.

  • Calcola il lavoro che deve compiere il portiere per fermare il pallone.
Es. 2 (Ruffo > D55 n.15)

Un ciclista di massa 60 kg guida una bicicletta di massa 10 k ed ha una velocità di 9,0 m/s.

  • Quale lavoro compiono i freni per fermare la bicicletta?
  • Se la velocità fosse la metà, anche il lavoro sarebbe la metà?