L'ERRORE DI MISURA

Per effettuare la misura di una grandezza, abbiamo bisogno di uno strumento di misura. È impossibile ottenere il valore esatto di una grandezza, perché ogni misura è soggetta a tre tipi di imprecisione :

  • la sensibilità dello strumento di misura, cioè la grandezza più piccola che posso misurare.
Esempio

Con un normale righello la divisione più piccola corrisponde a 1 mm. Perciò non possiamo misurare lunghezze più piccole di 1 mm e ogni misura ha un'incertezza pari 1 mm.

  • l'errore casuale, causato da piccole e imprevedibili variazioni, che aumentano e diminuiscono di poco il risultato della misura.
Esempio

Quando cronometriamo una corsa di velocità, la prontezza di riflessi aumenta o diminuisce casualmente il valore del tempo che registriamo.

  • l'errore sistematico è causato da un difetto dello strumento di misura o del metodo utilizzato, e si ripete identico ad ogni misura.
Esempio

Un orologio che va troppo piano o una bilancia tarata male modificano sistematicamente le misure.

Ecco, per esempio, come si esprime una misura con il suo errore:
$(128 \pm 1) cm$. In questo caso, la misura è di 128 cm, e l'errore è pari a 1 cm.

Valore medio

Spesso, per ottenere una misura più precisa di una grandezza, la misura viene ripetuta più volte. Ripetendo la misura, probabilmente si otterranno valori diversi ogni volta a causa dell'errore casuale. In questo caso, come valore della grandezza si assume la media delle misure. Per calcolare la media, si usa la formula seguente

(1)
\begin{align} media = \frac{somma\;delle\;misure}{numero\;delle\;misure} \end{align}

In termini matematici più precisi, se misuriamo $N$ volte la grandezza $v$ e otteniamo i valori $v_1, v_2, \ldots, v_N$, diremo che la grandezza $v$ è uguale alla media

(2)
\begin{align} v_{media} = \frac{v_1 + v_2 + v_3 + ... + v_N}{N} \end{align}

L'errore assoluto

La sensibilità dello strumento

Quando si effettua una misura sola, la grandezza misurata viene espressa con un'incertezza pari alla sensibilità dello strumento, cioè la più piccola grandezza che lo strumento può misurare.

Esempi
  • In un righello normale le tacche più piccole corrispondono a 1 mm. Perciò, è impossibile misurare lunghezze più piccole di 1 mm. Ogni misura, dunque, avrà un'incertezza di 1 mm.
  • Un foglio A4 misura $29,7 cm$ di lunghezza. Se abbiamo misurato il foglio con un righello, l'incertezza è pari ad 1 mm. La lunghezza, dunque, si scrive $(29,7 \pm 0,1) cm$.
La semidispersione

Se abbiamo misurato una grandezza ripetendo la misura molte volte, avremo sicuramente ottenuto un valore minimo $v_{min}$ e un valore massimo $v_{max}$. In questo caso, possiamo definire la semidispersione $\Delta v$, cioè la metà della differenza tra il valore massimo $v_{max}$ e il valore minimo $v_{min}$, come viene espresso nella formula seguente:

(3)
\begin{align} \Delta v = \frac{v_{min} - v_{max}}{2} \end{align}

Se la semidispersione è maggiore della sensibilità dello strumento, essa viene presa come errore della misura.

Esempio

Immaginiamo di aver misurato il tempo di un corridore sui 100 metri con tre cronometristi diversi, che avranno misurato i tre tempi $t_1 = 9,8 s$, $t_2 = 9,9 s$ e $t_3 = 10,0 s$.
Di conseguenza, diremo che il tempo del corridore è uguale alla media dei valori misurati:

(4)
\begin{align} t_{media} = \frac{t_1 + t_2 + t_3}{3} s = \frac{9,8 + 9,9 + 10,0}{3} s = 9,9 s \end{align}

e l'errore sulla misura è

(5)
\begin{align} \Delta t = \frac{t_{max} - t_{min}}{2} = \frac{10 - 9,8}{2} s = 0,1 s. \end{align}

Infatti, il valore massimo trovato è $t_{max}=10,0 s$ e il valore minimo è $t_{min}=9,8s$.
in conclusione, la misura del tempo impiegato dal corridore è

(6)
\begin{align} t= (9,9 \pm 0,1) s \end{align}

Errore relativo

Si possono avere misure con lo stesso errore assoluto ma precisione molto diversa. Ad esempio, se misuro la lunghezza del pollice della mano (circa 2 cm) e faccio un errore di 1 cm, ho una misura molto grossolana. Ma se faccio lo stesso errore di 1 cm nel misurare l'altezza del Colosseo (circa 50 m), ho una misura molto più precisa. Eppure, l'errore assoluto è identico.
Per risolvere questo problema si introduce l'errore relativo, pari al rapporto tra l'errore della misura $\Delta_{assoluto} V $$ e la misura V della grandezza:

(7)
\begin{align} \Delta_{relativo} V = \frac{\Delta_{assoluto} V}{V}. \end{align}

L'errore percentuale è pari all'errore relativo moltiplicato per 100, e si indica con il segno $\%$.

Esempio

Se la lunghezza del pollice è di 2 cm e l'errore di misura è di 1 cm, l'errore relativo vale

(8)
\begin{align} \Delta_{relativo} V = \frac{\Delta_{assoluto} V}{V} = \frac{1\; cm}{2\; cm}=0.5 \end{align}

L'errore percentuale vale

(9)
\begin{align} \Delta_{percentuale} V = \Delta_{relativo} V \cdot 100 \% = 0.5 \cdot 100 % = 50 \% \end{align}

Nel caso dell'altezza del Colosseo, invece, la misura vale 50 m = 5000 cm e l'errore è sempre di 1 cm. L'errore relativo in questo caso vale

(10)
\begin{align} \frac{1\; cm}{5000\; cm}=0.0002=0,02\% \end{align}

Dato che l'errore relativo è molto minore in questo caso, diciamo che la misura dell'altezza del Colosseo è molto più precisa della misura della lunghezza del pollice.

Esercizi

Es. 1 (Ruffo > A23 n.9)

Un falegname misura la lunghezza di una tavola e afferma che è compresa fra 298 e 302 cm.

  • Calcola l'errore assoluto e scrivi il risultato della misura
  • L'errore percentuale sulla misura è minore dell'1%. Perché?
Es. 2 (Ruffo > A23 n.10)

Misurando più volte il tempo di oscillazione di un pendolo abbiamo trovato i seguenti valori: 1,02 s; 0,99 s; 1,01 s; 0,98 s.

  • Calcola l'errore assoluto, quello relativo e quello percentuale.
Es. 3 (Ruffo > A23 n.12)

Misurando la massa di un mattone abbiamo trovato 2,50 kg con un errore del 4%.

  • Calcola l'errore assoluto.